Trigonométrie Exemples

${(\cot (x) + \tan (x))}^{2} - {(\cot (x) - \tan (x))}^{2}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cot (x) + \tan (x)$ et $b = \cot (x) - \tan (x)$ .

$(\cot (x) + \tan (x) + \cot (x) - \tan (x)) (\cot (x) + \tan (x) - (\cot (x) - \tan (x)))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $\cot (x) + \tan (x) + \cot (x) - \tan (x)$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $\tan (x)$ de $\tan (x)$ .

$(\cot (x) + 0 + \cot (x)) (\cot (x) + \tan (x) - (\cot (x) - \tan (x)))$

Étape 2.1.2

Additionnez $\cot (x)$ et $0$ .

$(\cot (x) + \cot (x)) (\cot (x) + \tan (x) - (\cot (x) - \tan (x)))$

Étape 2.2

Additionnez $\cot (x)$ et $\cot (x)$ .

$2 \cot (x) (\cot (x) + \tan (x) - (\cot (x) - \tan (x)))$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cot (x) (\cot (x) + \tan (x) - \cot (x) - - \tan (x))$

Étape 2.3.2

Multipliez $- - \tan (x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 \cot (x) (\cot (x) + \tan (x) - \cot (x) + 1 \tan (x))$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$2 \cot (x) (\cot (x) + \tan (x) - \cot (x) + \tan (x))$

Étape 2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.4.1

Associez les termes opposés dans $\cot (x) + \tan (x) - \cot (x) + \tan (x)$ .

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Étape 2.4.1.1

Soustrayez $\cot (x)$ de $\cot (x)$ .

$2 \cot (x) (0 + \tan (x) + \tan (x))$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $0$ et $\tan (x)$ .

$2 \cot (x) (\tan (x) + \tan (x))$

Étape 2.4.2

Additionnez $\tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$2 \cot (x) (2 \tan (x))$

Étape 3

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1

Ajoutez des parenthèses.

$2 (\cot (x) (2 \tan (x)))$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $\cot (x)$ et $2 \tan (x)$ .

$2 (2 \tan (x) \cot (x))$

Étape 3.3

Ajoutez des parenthèses.

$2 (2 (\tan (x) \cot (x)))$

Étape 3.4

Remettez dans l’ordre $\tan (x)$ et $\cot (x)$ .

$2 (2 (\cot (x) \tan (x)))$

Étape 3.5

Réécrivez $2 \cot (x) (2 \tan (x))$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 (2 (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

Étape 3.6

Annulez les facteurs communs.

$2 (2 \cdot 1)$

Étape 4

Multipliez $2 (2 \cdot 1)$ .

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \cdot 2$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$