Trigonométrie Exemples

${(\sec (x) - \cos (x))}^{2} - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}^{2} - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))}^{2}$ comme $(\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.3

Développez $(\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) - \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) - \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 1.4.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- \cos (x)) - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.4.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\cos (x)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} \cos (x) - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 - \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.4.1.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 + \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 + \cos (x) \cdot - 1 \frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 - 1 - \cos (x) (- \cos (x)) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.5

Multipliez $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 1.4.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 - 1 + 1 \cos (x) \cos (x) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.5.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 - 1 + \cos (x) \cos (x) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.5.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 - 1 + \cos^{1} (x) \cos (x) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.5.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 - 1 + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 - 1 + {\cos (x)}^{1 + 1} - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.1.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 - 1 + \cos^{2} (x) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.4.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - {(\sec (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.5

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - {(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}^{2}$

Étape 1.6

Réécrivez ${(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))}^{2}$ comme $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - ((\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)))$

Étape 1.7

Développez $(\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)))$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)))$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.8.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.8.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 + 1 + \cos (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.4

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 1.8.1.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 + 1 + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 1.8.1.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 + 1 + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 1.8.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 + 1 + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 1.8.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1 + 1 + \cos^{2} (x))$

Étape 1.8.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - (\frac{1}{\cos^{2} (x)} + 2 + \cos^{2} (x))$

Étape 1.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} - 1 \cdot 2 - \cos^{2} (x)$

Étape 1.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 - \cos^{2} (x)$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 + \cos^{2} (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} - 2 - \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.1.1

Soustrayez $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$0 - 2 + \cos^{2} (x) - 2 - \cos^{2} (x)$

Étape 2.1.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2 + \cos^{2} (x) - 2 - \cos^{2} (x)$

Étape 2.1.3

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$- 2 + 0 - 2$

Étape 2.1.4

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2 - 2$

Étape 2.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$- 4$