Trigonométrie Exemples

$\frac{x^{2} - 23}{2 x^{5} - 5 x - 3} + \frac{- 1}{2 x + 1}$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{2} - 23}{2 x^{5} - 5 x - 3} - \frac{1}{2 x + 1}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x^{2} - 23}{2 x^{5} - 5 x - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{x^{2} - 23}{2 x^{5} - 5 x - 3} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{1}{2 x + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x^{5} - 5 x - 3}{2 x^{5} - 5 x - 3}$ .

$\frac{x^{2} - 23}{2 x^{5} - 5 x - 3} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x^{5} - 5 x - 3}{2 x^{5} - 5 x - 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 x^{5} - 5 x - 3) (2 x + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x^{2} - 23}{2 x^{5} - 5 x - 3}$ par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{(x^{2} - 23) (2 x + 1)}{(2 x^{5} - 5 x - 3) (2 x + 1)} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x^{5} - 5 x - 3}{2 x^{5} - 5 x - 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{2 x + 1}$ par $\frac{2 x^{5} - 5 x - 3}{2 x^{5} - 5 x - 3}$ .

$\frac{(x^{2} - 23) (2 x + 1)}{(2 x^{5} - 5 x - 3) (2 x + 1)} - \frac{2 x^{5} - 5 x - 3}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(2 x^{5} - 5 x - 3) (2 x + 1)$ .

$\frac{(x^{2} - 23) (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)} - \frac{2 x^{5} - 5 x - 3}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x^{2} - 23) (2 x + 1) - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x^{2} - 23) (2 x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 x + 1) - 23 (2 x + 1) - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 23 (2 x + 1) - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - 23 (2 x) - 23 \cdot 1 - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - 23 (2 x) - 23 \cdot 1 - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 23 (2 x) - 23 \cdot 1 - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 1 - 23 (2 x) - 23 \cdot 1 - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 1 - 23 (2 x) - 23 \cdot 1 - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 1 - 23 (2 x) - 23 \cdot 1 - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 23 (2 x) - 23 \cdot 1 - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.2.4

Multipliez $2$ par $- 23$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 46 x - 23 \cdot 1 - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 23$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 46 x - 23 - (2 x^{5} - 5 x - 3)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 46 x - 23 - (2 x^{5}) - (- 5 x) - - 3}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 46 x - 23 - 2 x^{5} - (- 5 x) - - 3}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 46 x - 23 - 2 x^{5} + 5 x - - 3}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 46 x - 23 - 2 x^{5} + 5 x + 3}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.5

Additionnez $- 46 x$ et $5 x$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 41 x - 23 - 2 x^{5} + 3}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 23$ et $3$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 41 x - 2 x^{5} - 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 6.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 x^{5} + 2 x^{3} + x^{2} - 41 x - 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{5}$ .

$\frac{- (2 x^{5}) + 2 x^{3} + x^{2} - 41 x - 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{- (2 x^{5}) - (- 2 x^{3}) + x^{2} - 41 x - 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{5}) - (- 2 x^{3})$ .

$\frac{- (2 x^{5} - 2 x^{3}) + x^{2} - 41 x - 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{5} - 2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) - 41 x - 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{5} - 2 x^{3}) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{- (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2}) - 41 x - 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 41 x$ .

$\frac{- (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2}) - (41 x) - 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2}) - (41 x)$ .

$\frac{- (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2} + 41 x) - 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.8

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$\frac{- (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2} + 41 x) - 1 (20)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2} + 41 x) - 1 (20)$ .

$\frac{- (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2} + 41 x + 20)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.10.1

Réécrivez $- (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2} + 41 x + 20)$ comme $- 1 (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2} + 41 x + 20)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2} + 41 x + 20)}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$

Étape 7.10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{5} - 2 x^{3} - x^{2} + 41 x + 20}{(2 x + 1) (2 x^{5} - 5 x - 3)}$