Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{12}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2 \cdot 4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{12})$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.3.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 1.3.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 1.3.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 1.3.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 1.3.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 1.3.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.3.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.3.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.3.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.3.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.3.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.3.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.3.7.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 1.3.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 1.3.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Étape 1.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})}{8}$

Étape 1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} (- \sqrt{2})}{8}$

Étape 1.7

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 1.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{3 \cdot 2}}{8}$

Étape 1.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} - \sqrt{6}}{8}$

Étape 1.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8}$

Étape 1.8.2

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.8.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{9 (2)} - \sqrt{6}}{8}$

Étape 1.8.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6}}{8}$

Étape 1.8.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}$

Étape 2.2

Soustrayez $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.3

Additionnez $0$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.4

Additionnez $\sqrt{2}$ et $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$0.70710678 \dots$