Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + \frac{2 t + 1 - t^{2}}{1 + t^{2}}}{1 + \frac{2 t - 1 + t^{2}}{1 + t^{2}}}$

Étape 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 + t^{2}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{2 t + 1 - t^{2}}{1 + t^{2}}}{1 + \frac{2 t - 1 + t^{2}}{1 + t^{2}}}$ par $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ .

$\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1 + \frac{2 t + 1 - t^{2}}{1 + t^{2}}}{1 + \frac{2 t - 1 + t^{2}}{1 + t^{2}}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(1 + t^{2}) (1 + \frac{2 t + 1 - t^{2}}{1 + t^{2}})}{(1 + t^{2}) (1 + \frac{2 t - 1 + t^{2}}{1 + t^{2}})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{2 t + 1 - t^{2}}{1 + t^{2}}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{2 t - 1 + t^{2}}{1 + t^{2}}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{1 + t^{2}}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{2 t - 1 + t^{2}}{1 + t^{2}}}$

Étape 3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{1 + t^{2}}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $1 + t^{2}$ à partir de $(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{1 + t^{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $1 + t^{2}$ à partir de $(1 + t^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (1) + (1 + t^{2}) \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{1 + t^{2}}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $1 + t^{2}$ à partir de $(1 + t^{2}) (1) + (1 + t^{2}) (\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{1 + t^{2}})$ .

$\frac{(1 + t^{2}) (1 + \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{1 + t^{2}})}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(1 + t^{2}) (\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} + \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{1 + t^{2}})}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{1 + t^{2} - t^{2} + 2 t + 1}{1 + t^{2}}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{t^{2} - t^{2} + 2 t + 1 + 1}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{t^{2} - t^{2} + 2 t + 1 + 1}{t^{2} + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 4.5.1

Soustrayez $t^{2}$ de $t^{2}$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{0 + 2 t + 1 + 1}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.5.2

Additionnez $0$ et $2 t$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 t + 1 + 1}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.5.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 t + 2}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.5.4

Factorisez $2$ à partir de $2 t + 2$ .

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Étape 4.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t) + 2}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.5.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t) + 2 (1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 4.5.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (t) + 2 (1)$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Factorisez $1 + t^{2}$ à partir de $(1 + t^{2}) \cdot 1 + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $1 + t^{2}$ à partir de $(1 + t^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) (1) + (1 + t^{2}) \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 5.1.2

Factorisez $1 + t^{2}$ à partir de $(1 + t^{2}) (1) + (1 + t^{2}) (\frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}})$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) (1 + \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}})}$

Étape 5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) (\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} + \frac{t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}})}$

Étape 5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \frac{1 + t^{2} + t^{2} + 2 t - 1}{1 + t^{2}}}$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \frac{t^{2} + t^{2} + 2 t + 1 - 1}{t^{2} + 1}}$

Étape 5.5

Réécrivez $\frac{t^{2} + t^{2} + 2 t + 1 - 1}{t^{2} + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.5.1

Additionnez $t^{2}$ et $t^{2}$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \frac{2 t^{2} + 2 t + 1 - 1}{t^{2} + 1}}$

Étape 5.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \frac{2 t^{2} + 2 t + 0}{t^{2} + 1}}$

Étape 5.5.3

Additionnez $2 t^{2} + 2 t$ et $0$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \frac{2 t^{2} + 2 t}{t^{2} + 1}}$

Étape 5.5.4

Factorisez $2 t$ à partir de $2 t^{2} + 2 t$ .

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Étape 5.5.4.1

Factorisez $2 t$ à partir de $2 t^{2}$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \frac{2 t (t) + 2 t}{t^{2} + 1}}$

Étape 5.5.4.2

Factorisez $2 t$ à partir de $2 t$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \frac{2 t (t) + 2 t (1)}{t^{2} + 1}}$

Étape 5.5.4.3

Factorisez $2 t$ à partir de $2 t (t) + 2 t (1)$ .

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \frac{2 t (t + 1)}{t^{2} + 1}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $1 + t^{2}$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + t^{2}) \frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{(1 + t^{2}) \frac{2 t (t + 1)}{t^{2} + 1}}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1}}{\frac{2 t (t + 1)}{t^{2} + 1}}$

Étape 7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{2 t (t + 1)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $2 (t + 1)$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2 (t + 1)$ à partir de $2 t (t + 1)$ .

$\frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{2 (t + 1) (t)}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (t + 1)}{t^{2} + 1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{2 (t + 1) t}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $t^{2} + 1$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{t}$