Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + \csc (x)}{\cos (x) \cot (x)}$

Étape 1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\cos (x) \cot (x)}$

Étape 2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(1 + \frac{1}{\sin (x)}) \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 6.3

Associez.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1 \sin (x)}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1 \sin (x)}{\sin (x) \cos^{2} (x)}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.2

Séparez les fractions.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 7.6

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\sec (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Étape 7.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$