Trigonométrie Exemples

$\frac{12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $12 \sin^{2} (x) + 15 \sin (x) + 3$ et $3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $12 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 15 \sin (x) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $15 \sin (x)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Étape 1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 \sin^{2} (x)) + 3 (5 \sin (x))$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Étape 1.4

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 \cdot 1}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Étape 1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x)) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 \sin^{2} (x) + 9 \sin (x) + 6}$

Étape 1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 9 \sin (x) + 6}$

Étape 1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $9 \sin (x)$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x)) + 6}$

Étape 1.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (3 \sin (x))$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 6}$

Étape 1.6.4

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2}$

Étape 1.6.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x)) + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

Étape 1.6.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1)}{3 (\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2)}$

Étape 1.6.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sin^{2} (x) + 5 \sin (x) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$\frac{4 u^{2} + 5 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 u$ .

$\frac{4 u^{2} + 5 (u) + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $5$ comme $1$ plus $4$

$\frac{4 u^{2} + (1 + 4) u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 u^{2} + 1 u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{4 u^{2} + u + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(4 u^{2} + u) + 4 u + 1}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u + 1$ .

$\frac{(4 u + 1) (u + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{\sin^{2} (x) + 3 \sin (x) + 2}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{u^{2} + 3 u + 2}$

Étape 3.2

Factorisez $u^{2} + 3 u + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $3$ .

$1, 2$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(u + 1) (u + 2)}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\sin (x) + 1$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(4 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)}{(\sin (x) + 1) (\sin (x) + 2)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sin (x) + 1}{\sin (x) + 2}$