Trigonométrie Exemples

$\sqrt{2 a - 9} - \sqrt{a - 5} = 1$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{a - 5}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 a - 9} = 1 + \sqrt{a - 5}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 a - 9}}^{2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 a - 9}$ comme ${(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 a - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 a - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 a - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 a - 9)}^{1} = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 a - 9 = {(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{a - 5})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{a - 5}) (1 + \sqrt{a - 5})$ .

$2 a - 9 = (1 + \sqrt{a - 5}) (1 + \sqrt{a - 5})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(1 + \sqrt{a - 5}) (1 + \sqrt{a - 5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 a - 9 = 1 (1 + \sqrt{a - 5}) + \sqrt{a - 5} (1 + \sqrt{a - 5})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 a - 9 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} (1 + \sqrt{a - 5})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 a - 9 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \cdot 1 + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$2 a - 9 = 1 + 1 \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \cdot 1 + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{a - 5}$ par $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \cdot 1 + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{a - 5}$ par $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{a - 5} \sqrt{a - 5}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{a - 5}$ à la puissance $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{1} \sqrt{a - 5}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{a - 5}$ à la puissance $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{1} {\sqrt{a - 5}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {\sqrt{a - 5}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{a - 5}}^{2}$ comme $a - 5$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a - 5}$ comme ${(a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + {(a - 5)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$2 a - 9 = 1 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + a - 5$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$2 a - 9 = - 4 + \sqrt{a - 5} + \sqrt{a - 5} + a$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $\sqrt{a - 5}$ et $\sqrt{a - 5}$ .

$2 a - 9 = - 4 + 2 \sqrt{a - 5} + a$

Étape 4

Résolvez $2 \sqrt{a - 5}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 + 2 \sqrt{a - 5} + a = 2 a - 9$ .

$- 4 + 2 \sqrt{a - 5} + a = 2 a - 9$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{a - 5}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{a - 5} + a = 2 a - 9 + 4$

Étape 4.2.2

Soustrayez $a$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{a - 5} = 2 a - 9 + 4 - a$

Étape 4.2.3

Soustrayez $a$ de $2 a$ .

$2 \sqrt{a - 5} = a - 9 + 4$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 9$ et $4$ .

$2 \sqrt{a - 5} = a - 5$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{a - 5})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{a - 5}$ comme ${(a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(2 {(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(a - 5)}^{1} = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$4 (a - 5) = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 a + 4 \cdot - 5 = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$4 a - 20 = {(a - 5)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(a - 5)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(a - 5)}^{2}$ comme $(a - 5) (a - 5)$ .

$4 a - 20 = (a - 5) (a - 5)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(a - 5) (a - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 a - 20 = a (a - 5) - 5 (a - 5)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 a - 20 = a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 (a - 5)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 a - 20 = a \cdot a + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$4 a - 20 = a^{2} + a \cdot - 5 - 5 a - 5 \cdot - 5$

Étape 6.3.1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $a$ .

$4 a - 20 = a^{2} - 5 \cdot a - 5 a - 5 \cdot - 5$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$4 a - 20 = a^{2} - 5 a - 5 a + 25$

Étape 6.3.1.3.2

Soustrayez $5 a$ de $- 5 a$ .

$4 a - 20 = a^{2} - 10 a + 25$

Étape 7

Résolvez $a$ .

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Étape 7.1

Comme $a$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$a^{2} - 10 a + 25 = 4 a - 20$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $a$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $4 a$ des deux côtés de l’équation.

$a^{2} - 10 a + 25 - 4 a = - 20$

Étape 7.2.2

Soustrayez $4 a$ de $- 10 a$ .

$a^{2} - 14 a + 25 = - 20$

Étape 7.3

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$a^{2} - 14 a + 25 + 20 = 0$

Étape 7.4

Additionnez $25$ et $20$ .

$a^{2} - 14 a + 45 = 0$

Étape 7.5

Factorisez $a^{2} - 14 a + 45$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $45$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 9, - 5$

Étape 7.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(a - 9) (a - 5) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a - 9 = 0$

$a - 5 = 0$

Étape 7.7

Définissez $a - 9$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 7.7.1

Définissez $a - 9$ égal à $0$ .

$a - 9 = 0$

Étape 7.7.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 9$

Étape 7.8

Définissez $a - 5$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $a - 5$ égal à $0$ .

$a - 5 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$a = 5$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(a - 9) (a - 5) = 0$ vraie.

$a = 9, 5$