Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{x}{7}) + \sqrt{3} = 0$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (\frac{x}{7}) = - \sqrt{3}$

Étape 2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$\frac{x}{7} = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{7} = - \frac{π}{3}$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 (- \frac{π}{3})$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{x}{7} = 7 (- \frac{π}{3})$

Étape 5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 7 (- \frac{π}{3})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $7 (- \frac{π}{3})$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $7 (- \frac{π}{3})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$x = - 7 \frac{π}{3}$

Étape 5.2.1.1.2

Associez $- 7$ et $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{- 7 π}{3}$

Étape 5.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 π}{3}$

Étape 6

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{7} = - \frac{π}{3} - π$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$\frac{x}{7} = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 7.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$\frac{x}{7} = \frac{2 π}{3}$

Étape 7.3

Résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{x}{7} = 7 \frac{2 π}{3}$

Étape 7.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 7.3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{x}{7} = 7 \frac{2 π}{3}$

Étape 7.3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 7 \frac{2 π}{3}$

Étape 7.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.2.2.1

Multipliez $7 \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 7.3.2.2.1.1

Associez $7$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{7 (2 π)}{3}$

Étape 7.3.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = \frac{14 π}{3}$

Étape 8

Déterminez la période de $\tan (\frac{x}{7})$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{7}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{7} |}$

Étape 8.3

$\frac{1}{7}$ est d’environ $0.\overline{142857}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{7}}$

Étape 8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 7$

Étape 8.5

Déplacez $7$ à gauche de $π$ .

$7 π$

Étape 9

Ajoutez $7 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 9.1

Ajoutez $7 π$ à $- \frac{7 π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{7 π}{3} + 7 π$

Étape 9.2

Pour écrire $7 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$7 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{7 π}{3}$

Étape 9.3

Associez les fractions.

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Étape 9.3.1

Associez $7 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7 π \cdot 3}{3} - \frac{7 π}{3}$

Étape 9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 π \cdot 3 - 7 π}{3}$

Étape 9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{21 π - 7 π}{3}$

Étape 9.4.2

Soustrayez $7 π$ de $21 π$ .

$\frac{14 π}{3}$

Étape 9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{14 π}{3}$

Étape 10

La période de la fonction $\tan (\frac{x}{7})$ est $7 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $7 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{14 π}{3} + 7 π n, \frac{14 π}{3} + 7 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{14 π}{3} + 7 π n$ , pour tout entier $n$