Trigonométrie Exemples

$\sec (\frac{5 x}{4}) = - 2$

Étape 1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$\frac{5 x}{4} = arcsec (- 2)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $arcsec (- 2)$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{5 x}{4} = \frac{2 π}{3}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4}$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{4 (2 π)}{5 \cdot 3}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{8 π}{5 \cdot 3}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$x = \frac{8 π}{15}$

Étape 5

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{5 x}{4} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x}{4} = \frac{4}{5} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{1}{5} (5 (x)) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{5} (5 x) = \frac{4}{5} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4}{5} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $\frac{4}{5} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4}{5} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4}{5} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4}{5} \cdot \frac{4 π}{3}$

Étape 6.2.2.1.4

Multipliez $\frac{4}{5} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{4 (4 π)}{5 \cdot 3}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{16 π}{5 \cdot 3}$

Étape 6.2.2.1.4.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$x = \frac{16 π}{15}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sec (\frac{5 x}{4})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{5}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{5}{4} |}$

Étape 7.3

$\frac{5}{4}$ est d’environ $1.25$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{5}{4}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{4}{5}$

Étape 7.5

Multipliez $2 π \frac{4}{5}$ .

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Étape 7.5.1

Associez $\frac{4}{5}$ et $2$ .

$\frac{4 \cdot 2}{5} π$

Étape 7.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{5} π$

Étape 7.5.3

Associez $\frac{8}{5}$ et $π$ .

$\frac{8 π}{5}$

Étape 8

La période de la fonction $\sec (\frac{5 x}{4})$ est $\frac{8 π}{5}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{8 π}{5}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{8 π}{15} + \frac{8 π n}{5}, \frac{16 π}{15} + \frac{8 π n}{5}$ , pour tout entier $n$