Trigonométrie Exemples

$\sin (5 x) - 16 = - 17$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (5 x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (5 x) = - 17 + 16$

Étape 1.2

Additionnez $- 17$ et $16$ .

$\sin (5 x) = - 1$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$5 x = \arcsin (- 1)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$5 x = - \frac{π}{2}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $5 x = - \frac{π}{2}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $5 x = - \frac{π}{2}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{2}}{5}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \frac{π}{2}}{5}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{5}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{5 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$x = - \frac{π}{10}$

Étape 5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$5 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$5 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 6.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$5 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{3 π}{2}$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $5 x = \frac{3 π}{2}$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{5}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{3 π}{10}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (5 x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $5$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

Étape 8

Ajoutez $\frac{2 π}{5}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.1

Ajoutez $\frac{2 π}{5}$ à $- \frac{π}{10}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{10} + \frac{2 π}{5}$

Étape 8.2

Pour écrire $\frac{2 π}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{10}$

Étape 8.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $10$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{5}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{π}{10}$

Étape 8.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{10} - \frac{π}{10}$

Étape 8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{10}$

Étape 8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{10}$

Étape 8.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{10}$

Étape 8.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{10}$

Étape 9

La période de la fonction $\sin (5 x)$ est $\frac{2 π}{5}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{5}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}, \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ , pour tout entier $n$