Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{2 x}{3}) = 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{2 x}{3} = \arcsin (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{3} = \frac{π}{2}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{2 x}{3} = π - \frac{π}{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{3} = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (x)) = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (2 x) = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2} (π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 6.2.2.1.4

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (\frac{2 x}{3})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{2}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Étape 7.3

$\frac{2}{3}$ est d’environ $0.\overline{6}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{2}$

Étape 7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Étape 7.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 π \frac{3}{2}$

Étape 7.5.3

Réécrivez l’expression.

$π \cdot 3$

Étape 7.6

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$3 π$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (\frac{2 x}{3})$ est $3 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $3 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 3 π n$ , pour tout entier $n$