Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 5.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = π \cdot 2 - π$

Étape 5.2.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = 2 π - π$

Étape 5.2.2.1.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 6.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 6.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 7

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 4 π n$ , pour tout entier $n$