Trigonométrie Exemples

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Étape 3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = - π$

Étape 4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = 3 π$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 6.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 6.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 7

Ajoutez $4 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.1

Ajoutez $4 π$ à $- π$ pour déterminer l’angle positif.

$- π + 4 π$

Étape 7.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$3 π$

Étape 7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 3 π$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = 3 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$