Trigonométrie Exemples

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{6}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{6} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 3.3

Pour écrire $- \frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.4.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 3.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π \cdot 3}{12}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π \cdot 3}{12}$

Étape 3.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 π - 3 π}{12}$

Étape 3.6.3

Soustrayez $3 π$ de $2 π$ .

$x = \frac{- π}{12}$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{π}{12}$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x + \frac{π}{4} = π - \frac{π}{6}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x + \frac{π}{4} = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.1.2

Associez les fractions.

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Étape 5.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x + \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 5.1.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{6}$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $\frac{π}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{5 π}{6} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $\frac{5 π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Étape 5.2.3

Pour écrire $- \frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 5.2.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$x = \frac{5 π \cdot 2}{12} - \frac{π \cdot 3}{12}$

Étape 5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{5 π \cdot 2 - π \cdot 3}{12}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{10 π - π \cdot 3}{12}$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = \frac{10 π - 3 π}{12}$

Étape 5.2.6.3

Soustrayez $3 π$ de $10 π$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (x + \frac{π}{4})$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{12} + 2 π$

Étape 7.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 7.3

Associez les fractions.

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Étape 7.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 12 - π}{12}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez $12$ par $2$ .

$\frac{24 π - π}{12}$

Étape 7.4.2

Soustrayez $π$ de $24 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Étape 7.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{23 π}{12}$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (x + \frac{π}{4})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{23 π}{12} + 2 π n$ , pour tout entier $n$