Trigonométrie Exemples

$\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ par $\csc (\frac{x}{2})$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\csc (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ par $\csc (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $\csc (\frac{x}{2})$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\csc (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\csc (\frac{x}{2})}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\csc (\frac{x}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}}$

Étape 1.3.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Étape 1.3.3

Simplifiez

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Étape 1.3.3.1

Élevez $\sin (\frac{x}{2})$ à la puissance $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin (\frac{x}{2})$

Étape 1.3.3.2

Élevez $\sin (\frac{x}{2})$ à la puissance $1$ .

$1 = \sin^{1} (\frac{x}{2}) \sin^{1} (\frac{x}{2})$

Étape 1.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = {\sin (\frac{x}{2})}^{1 + 1}$

Étape 1.3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\sin^{2} (\frac{x}{2}) = 1$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{1}$

Étape 4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = \pm 1$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (\frac{x}{2}) = 1, - 1$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (\frac{x}{2}) = 1$

$\sin (\frac{x}{2}) = - 1$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (\frac{x}{2}) = 1$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (1)$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 7.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = π$

Étape 7.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{2}$

Étape 7.5

Résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Étape 7.5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 7.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - \frac{π}{2})$

Étape 7.5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (π - \frac{π}{2})$

Étape 7.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.5.2.2.1

Simplifiez $2 (π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 7.5.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 7.5.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 7.5.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 7.5.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 7.5.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.2.2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 7.5.2.2.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$x = π \cdot 2 - π$

Étape 7.5.2.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = 2 π - π$

Étape 7.5.2.2.1.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 7.6

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 7.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.6.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 7.6.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 7.6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 7.6.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 7.7

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sin (\frac{x}{2}) = - 1$ .

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Étape 8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{x}{2} = \arcsin (- 1)$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

Étape 8.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = - π$

Étape 8.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 8.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 8.5.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Étape 8.5.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x = 3 π$

Étape 8.6

Déterminez la période de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Étape 8.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.6.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Étape 8.6.3

$\frac{1}{2}$ est d’environ $0.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Étape 8.6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 2$

Étape 8.6.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 π$

Étape 8.7

Ajoutez $4 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.7.1

Ajoutez $4 π$ à $- π$ pour déterminer l’angle positif.

$- π + 4 π$

Étape 8.7.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$3 π$

Étape 8.7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 3 π$

Étape 8.8

La période de la fonction $\sin (\frac{x}{2})$ est $4 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$