Trigonométrie Exemples

$\csc (x) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \csc (x)$

Étape 1

Simplifiez $\frac{3}{2} \csc (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$\csc (x) - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} \csc (x)$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\csc (x) - 1 = \frac{3}{2} \csc (x)$

Étape 1.3

Associez $\frac{3}{2}$ et $\csc (x)$ .

$\csc (x) - 1 = \frac{3 \csc (x)}{2}$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $\csc (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $\frac{3 \csc (x)}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\csc (x) - 1 - \frac{3 \csc (x)}{2} = 0$

Étape 2.2

Pour écrire $\csc (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\csc (x) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Étape 2.3

Associez $\csc (x)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\csc (x) \cdot 2}{2} - \frac{3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\csc (x) \cdot 2 - 3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $3 \csc (x)$ de $\csc (x) \cdot 2$ .

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Étape 2.5.1

Remettez dans l’ordre $\csc (x)$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot \csc (x) - 3 \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3 \csc (x)$ de $2 \cdot \csc (x)$ .

$\frac{- \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Étape 2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\csc (x)}{2} - 1 = 0$

Étape 3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{\csc (x)}{2} = 1$

Étape 4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{\csc (x)}{2}) = - 2 \cdot 1$

Étape 5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{\csc (x)}{2})$ .

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\csc (x)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

Étape 5.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

Étape 5.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \csc (x)}{2} = - 2 \cdot 1$

Étape 5.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - \csc (x) = - 2 \cdot 1$

Étape 5.1.1.2

Multipliez.

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Étape 5.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \csc (x) = - 2 \cdot 1$

Étape 5.1.1.2.2

Multipliez $\csc (x)$ par $1$ .

$\csc (x) = - 2 \cdot 1$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\csc (x) = - 2$

Étape 6

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 2)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $arccsc (- 2)$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 8

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 9

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 9.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 9.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 10

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 11.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 11.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 11.3

Associez les fractions.

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Étape 11.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 11.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 11.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 11.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 12

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$