Trigonométrie Exemples

$\cos (3 x - 45) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$3 x - 45 = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$3 x - 45 = \frac{π}{3}$

Étape 3

Ajoutez $45$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{π}{3} + 45$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{3} + 45$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{3} + 45$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{45}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{45}{3}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3} + \frac{45}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{45}{3}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3} + \frac{45}{3}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{π}{9} + \frac{45}{3}$

Étape 4.3.1.3

Divisez $45$ par $3$ .

$x = \frac{π}{9} + 15$

Étape 5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x - 45 = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 x - 45 = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 x - 45 = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x - 45 = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 x - 45 = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.1.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$3 x - 45 = \frac{5 π}{3}$

Étape 6.2

Ajoutez $45$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{5 π}{3} + 45$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 π}{3} + 45$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 π}{3} + 45$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3} + \frac{45}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3} + \frac{45}{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3} + \frac{45}{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{45}{3}$

Étape 6.3.3.1.2

Multipliez $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.3.3.1.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3} + \frac{45}{3}$

Étape 6.3.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{5 π}{9} + \frac{45}{3}$

Étape 6.3.3.1.3

Divisez $45$ par $3$ .

$x = \frac{5 π}{9} + 15$

Étape 7

Déterminez la période de $\cos (3 x - 45)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 8

La période de la fonction $\cos (3 x - 45)$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{9} + 15 + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + 15 + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$