Trigonométrie Exemples

$\cos (2 x) + 10 \sin^{2} (x) = 7$

Étape 1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) = 7$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) = 7 - 1$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Additionnez $- 2 \sin^{2} (x)$ et $10 \sin^{2} (x)$ .

$8 \sin^{2} (x) = 7 - 1$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ de $7$ .

$8 \sin^{2} (x) = 6$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $8 \sin^{2} (x) = 6$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $8 \sin^{2} (x) = 6$ par $8$ .

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{8} = \frac{6}{8}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{8} = \frac{6}{8}$

Étape 5.1.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{6}{8}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $8$ .

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Étape 5.1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{2 (3)}{8}$

Étape 5.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Étape 5.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 5.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.6

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5.6.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{3}$

Étape 5.6.4

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 5.6.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.6.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.6.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.6.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 5.6.4.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.6.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.6.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 5.7.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 5.7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.7.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 5.7.4.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 5.7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.7.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.7.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 5.7.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.7.6.3

Associez les fractions.

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Étape 5.7.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.7.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.7.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.6.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 5.7.6.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 5.7.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 5.7.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.9

Consolidez les solutions.

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Étape 5.9.1

Consolidez $\frac{π}{3} + 2 π n$ et $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.9.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$