Trigonométrie Exemples

$\cos (2 x) = 3 \sin (x)$

Étape 1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x)$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) = 3 \sin (x) - 1$

Étape 3

Soustrayez $3 \sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) = - 1$

Étape 4

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 3 u = - 1$

Étape 4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = - 2$ , $b = - 3$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 1)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot 1$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8 \cdot 1}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{- 4}$

Étape 4.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.7

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.8

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 4.9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ .

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Étape 4.9.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 4.10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$ .

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Étape 4.10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

Étape 4.10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.10.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$ .

$x = 0.28460296$

Étape 4.10.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$

Étape 4.10.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.10.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265 - 2 π$

Étape 4.10.4.2

L’angle résultant de $2.85698969$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 (3.14159265) - 0.28460296 + 3.14159265$ .

$x = 2.85698969$

Étape 4.10.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.10.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.11

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.28460296 + 2 π n, 2.85698969 + 2 π n$ , pour tout entier $n$