Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} = \frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\cos (x) - 1$ .

$\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} (\cos (x) - 1) = \frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x) - 1$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} (\cos (x) - 1) = \frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) + 1 = \frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{1 + \sec (x)}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) + 1 = \frac{1 + \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \sec (x)} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\cos (x) + 1 = \frac{1 + \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (x)$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\cos (x)}} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.3.2

Associez.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) (1 + \frac{1}{\cos (x)})}{\cos (x) (1 - \frac{1}{\cos (x)})} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)})} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 2.2.1.5.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.2.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)})} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + 1}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \frac{1}{\cos (x)})} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.5.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.2.1.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\cos (x)}$ dans le numérateur.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + 1}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + 1}{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \frac{- 1}{\cos (x)}} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) \cdot 1 + 1}{\cos (x) \cdot 1 - 1} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.6.1

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) \cdot 1 - 1} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.6.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.6.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x) - 1$ .

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Étape 2.2.1.6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) + 1 = \frac{\cos (x) + 1}{\cos (x) - 1} (\cos (x) - 1)$

Étape 2.2.1.6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) + 1 = \cos (x) + 1$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $\cos (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $\cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (x) + 1 - \cos (x) = 1$

Étape 3.1.2

Associez les termes opposés dans $\cos (x) + 1 - \cos (x)$ .

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Étape 3.1.2.1

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$0 + 1 = 1$

Étape 3.1.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 = 1$

Étape 3.2

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$