Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

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Étape 2.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} = \cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} = 1 - \sin (x)$

Étape 4

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = - \sin (x)$

Étape 4.2

Ajoutez $\sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 + \sin (x) = 0$

Étape 5

Simplifiez $\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 + \sin (x)$ .

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Étape 5.1

Pour écrire $\sin (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x) (1 + \sin (x))}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 5.3.1.3.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.1.4

Réécrivez $\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.1.4.1

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.1.4.2

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.1.4.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\sin (x) + 1}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $\sin (x) + 1$ et $1 + \sin (x)$ .

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Étape 5.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - 1 = 0$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 - 1 = 0$

Étape 5.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 = 0$

Étape 6

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$