Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 4

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \sin (x)$

Étape 8

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 11

Divisez $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 12.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13

Associez $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 14

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 14.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 15

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Simplifiez $\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 15.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 15.1.2.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 15.1.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 15.1.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.4.1

Réduisez l’expression $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 15.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 15.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 16

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Étape 16.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 17

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 18

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 19

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 20

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 20.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 20.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 21

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 21.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \sin (x)$

Étape 22

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 23

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 24

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 25

Divisez $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 26

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 26.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 26.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 27

Associez $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 28

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 28.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 28.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 29

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1

Simplifiez $\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 29.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 29.1.2.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 29.1.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 29.1.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.4.1

Réduisez l’expression $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 29.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 29.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 29.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 30

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 30.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 30.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Étape 30.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 31

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 32

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 33

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 34

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 34.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 34.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 35

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 35.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 35.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \sin (x)$

Étape 36

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 37

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 38

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 39

Divisez $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 40

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 40.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 40.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 41

Associez $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 42

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 42.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 42.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 43

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 43.1

Simplifiez $\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 43.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 43.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 43.1.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 43.1.2.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\cos (x) \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 43.1.3

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 43.1.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 43.1.4.1

Réduisez l’expression $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 43.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 43.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 43.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 44

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 44.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 44.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

Étape 44.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 45

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 46

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 47

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 48

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 48.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 48.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 49

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 49.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 49.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} = 1 + \sin (x)$

Étape 50

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 51

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 52

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 53

Divisez $\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ par $1$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 54

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 54.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 54.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 55

Associez $\frac{\cos (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 56

Simplifiez chaque terme.

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Étape 56.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 56.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} = \sec (x) + \tan (x)$

Étape 57

Multipliez les deux côtés par $\sec (x) - \tan (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} (\sec (x) - \tan (x)) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 58

Simplifiez

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Étape 58.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 58.1.1

Simplifiez $\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} (\sec (x) - \tan (x))$ .

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Étape 58.1.1.1

Annulez le facteur commun de $\sec (x) - \tan (x)$ .

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Étape 58.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \sec (x)}{\sec (x) - \tan (x)} (\sec (x) - \tan (x)) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 58.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) \sec (x) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 58.1.1.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 58.1.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 58.1.1.2.2

Réécrivez $\cos (x) \sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 58.1.1.2.3

Annulez les facteurs communs.

$1 = (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 58.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 58.2.1

Simplifiez $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ .

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Étape 58.2.1.1

Développez $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 58.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 = \sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 58.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 = \sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 58.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = \sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 58.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 58.2.1.2.1

Associez les termes opposés dans $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Étape 58.2.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sec (x) (- \tan (x))$ et $\tan (x) \sec (x)$ .

$1 = \sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 58.2.1.2.1.2

Additionnez $- \sec (x) \tan (x)$ et $\sec (x) \tan (x)$ .

$1 = \sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 58.2.1.2.1.3

Additionnez $\sec (x) \sec (x)$ et $0$ .

$1 = \sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 58.2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 58.2.1.2.2.1

Multipliez $\sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 58.2.1.2.2.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 58.2.1.2.2.1.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 58.2.1.2.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = {\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 58.2.1.2.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 = \sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

Étape 58.2.1.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = \sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

Étape 58.2.1.2.2.3

Multipliez $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 58.2.1.2.2.3.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

Étape 58.2.1.2.2.3.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$1 = \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

Étape 58.2.1.2.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = \sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

Étape 58.2.1.2.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Étape 58.2.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 = 1$

Étape 59

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $x$ .

Tous les nombres réels

Étape 60

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$