Trigonométrie Exemples

$\cot (2 θ - \frac{π}{2}) = 1$

Étape 1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cotangente.

$2 θ - \frac{π}{2} = arccot (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $arccot (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $θ$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 θ = \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 θ = \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 θ = \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Étape 3.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{3 π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{3 π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$θ = \frac{3 π}{8}$

Étape 5

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 θ - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

Étape 6

Résolvez $θ$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 6.1.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $θ$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

Étape 6.2.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 θ = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 θ = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 θ = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $5 π$ et $2 π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{4}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{7 π}{4}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = \frac{7 π}{4}$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 6.3.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Étape 6.3.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$θ = \frac{7 π}{8}$

Étape 7

Déterminez la période de $\cot (2 θ - \frac{π}{2})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 2 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 8

La période de la fonction $\cot (2 θ - \frac{π}{2})$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$