Trigonométrie Exemples

$y = 3 \sin (x + \frac{π}{4})$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 3$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $3$

Étape 3

Déterminez la période de $3 \sin (x + \frac{π}{4})$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- \frac{π}{4}}{1}$

Étape 4.3

Divisez $- \frac{π}{4}$ par $1$ .

Déphasage : $- \frac{π}{4}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $3$

Période : $2 π$

Déphasage : $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{- π + π}{4})$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $- π$ et $π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{0}{4})$

Étape 6.1.2.3

Divisez $0$ par $4$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \sin (0)$

Étape 6.1.2.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 3 \cdot 0$

Étape 6.1.2.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 0$

Étape 6.1.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π + π}{4})$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 π}{4})$

Étape 6.2.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.2.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

Étape 6.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Étape 6.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Étape 6.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = 3 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3 \cdot 1$

Étape 6.2.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 3$

Étape 6.2.2.6

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (\frac{3 π + π}{4})$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 π}{4})$

Étape 6.3.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 π}{4})$

Étape 6.3.2.3.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (π)$

Étape 6.3.2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \sin (0)$

Étape 6.3.2.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 3 \cdot 0$

Étape 6.3.2.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Étape 6.3.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin ((\frac{5 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{5 π + π}{4})$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $5 π$ et $π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{6 π}{4})$

Étape 6.4.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 6.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Étape 6.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Étape 6.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Étape 6.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 6.4.2.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

Étape 6.4.2.6

Multipliez $3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.4.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 3 \cdot - 1$

Étape 6.4.2.6.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 3$

Étape 6.4.2.7

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{7 π + π}{4})$

Étape 6.5.2.2

Additionnez $7 π$ et $π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{8 π}{4})$

Étape 6.5.2.3

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 6.5.2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4})$

Étape 6.5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

Étape 6.5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

Étape 6.5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (\frac{2 π}{1})$

Étape 6.5.2.3.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (2 π)$

Étape 6.5.2.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \sin (0)$

Étape 6.5.2.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 3 \cdot 0$

Étape 6.5.2.6

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 0$

Étape 6.5.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{4} & 3 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{5 π}{4} & - 3 \\ \frac{7 π}{4} & 0 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $3$

Période : $2 π$

Déphasage : $- \frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ à gauche)

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{4} & 3 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{5 π}{4} & - 3 \\ \frac{7 π}{4} & 0 \end{array}$

Étape 8