Trigonométrie Exemples

${(1 + i)}^{6}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{6} + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 6 \cdot 1^{5} i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 6 \cdot 1 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot 1^{4} i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 6 i + 15 \cdot 1 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.5

Multipliez $15$ par $1$ .

$1 + 6 i + 15 i^{2} + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 6 i + 15 \cdot - 1 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.7

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1^{3} i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 6 i - 15 + 20 \cdot 1 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.9

Multipliez $20$ par $1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 i^{3} + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.10

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (i^{2} \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- 1 \cdot i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.12

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 6 i - 15 + 20 (- i) + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.13

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1^{2} i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.15

Multipliez $15$ par $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 i^{4} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.16.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(i^{2})}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.16.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 {(- 1)}^{2} + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.16.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 \cdot 1 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.17

Multipliez $15$ par $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 \cdot 1 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.18

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i^{5} + i^{6}$

Étape 2.1.19

Factorisez $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (i^{4} i) + i^{6}$

Étape 2.1.20

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.20.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Étape 2.1.20.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Étape 2.1.20.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 (1 i) + i^{6}$

Étape 2.1.21

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{6}$

Étape 2.1.22

Factorisez $i^{4}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{4} i^{2}$

Étape 2.1.23

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.23.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.23.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Étape 2.1.23.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + 1 i^{2}$

Étape 2.1.24

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i + i^{2}$

Étape 2.1.25

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 6 i - 15 - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $15$ de $1$ .

$- 14 + 6 i - 20 i + 15 + 6 i - 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 14$ et $15$ .

$1 + 6 i - 20 i + 6 i - 1$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0 + 6 i - 20 i + 6 i$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $0$ et $6 i$ .

$6 i - 20 i + 6 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $20 i$ de $6 i$ .

$- 14 i + 6 i$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 14 i$ et $6 i$ .

$- 8 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Étape 6.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Étape 6.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 8$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Étape 8

Comme l’argument est indéfini et $b$ est négatif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{2}$ et $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$