Trigonométrie Exemples

$(\sqrt{3}) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \tan (x) = 2 \sin (x)$ par $\sqrt{3} \tan (x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \tan (x) = 2 \sin (x)$ par $\sqrt{3} \tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3} \tan (x)} = \frac{2 \sin (x)}{\sqrt{3} \tan (x)}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3} \tan (x)} = \frac{2 \sin (x)}{\sqrt{3} \tan (x)}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 \sin (x)}{\sqrt{3} \tan (x)}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $\tan (x)$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 \sin (x)}{\sqrt{3} \tan (x)}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{2 \sin (x)}{\sqrt{3} \tan (x)}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Séparez les fractions.

$1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 1.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{2}{\sqrt{3}} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 1.3.4

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$1 = \frac{2}{\sqrt{3}} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{2}{\sqrt{3}} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos (x)$

Étape 1.3.6

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cos (x)$

Étape 1.3.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.7.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.3.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \cos (x)$

Étape 1.3.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (x)$

Étape 1.3.8

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $\cos (x)$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = 1$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3}$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (x)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (x)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2 \sqrt{3}$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Factorisez $2 \sqrt{3}$ à partir de $2 \sqrt{3} \cos (x)$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (x)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (x)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.1.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot 1$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{6} \cdot 1$

Étape 4.2.1.4

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 4.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{3 (\sqrt{3})}{6} \cdot 1$

Étape 4.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Étape 4.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Étape 4.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Étape 8

Simplifiez $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 8.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 8.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 8.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Étape 8.3.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 9

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$