Trigonométrie Exemples

$\tan^{2} (x) - 4 \sec (x) = 4$

Étape 1

Remplacez le $\tan^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - 4 \sec (x) = 4$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\sec^{2} (x) - 4 \sec (x) - 1 = 4$

Étape 3

Remplacez $\sec (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 4 u - 1 = 4$

Étape 4

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 4 u - 1 - 4 = 0$

Étape 5

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$u^{2} - 4 u - 5 = 0$

Étape 6

Factorisez $u^{2} - 4 u - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 5, 1$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 5) (u + 1) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 8

Définissez $u - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Définissez $u - 5$ égal à $0$ .

$u - 5 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 5$

Étape 9

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 5) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 5, - 1$

Étape 11

Remplacez $u$ par $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 5, - 1$

Étape 12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = 5$

$\sec (x) = - 1$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = 5$ .

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Étape 13.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (5)$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

Évaluez $arcsec (5)$ .

$x = 1.3694384$

Étape 13.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3694384$

Étape 13.4

Résolvez $x$ .

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Étape 13.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.3694384$

Étape 13.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.3694384$ .

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Étape 13.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.3694384$

Étape 13.4.2.2

Soustrayez $1.3694384$ de $6.2831853$ .

$x = 4.9137469$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.3694384 + 2 π n, 4.9137469 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - 1$ .

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Étape 14.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- 1)$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.1

La valeur exacte de $arcsec (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 14.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 14.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.3694384 + 2 π n, 4.9137469 + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$