Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) \cos (x) = \cos (x)$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos (x) = \cos (x)$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = \cos (x)$

Étape 3

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \cos (x) = \cos (x)$

Étape 4

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = \cos (x)$

Étape 4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) - (\cos (x) \cos^{2} (x)) = \cos (x)$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 2} = \cos (x)$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\cos (x) - \cos^{3} (x) = \cos (x)$

Étape 5

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) = \cos (x)$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $\cos (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $\cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos^{3} (x) + \cos (x) - \cos (x) = 0$

Étape 6.2

Associez les termes opposés dans $- \cos^{3} (x) + \cos (x) - \cos (x)$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$- \cos^{3} (x) + 0 = 0$

Étape 6.2.2

Additionnez $- \cos^{3} (x)$ et $0$ .

$- \cos^{3} (x) = 0$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $- \cos^{3} (x) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $- \cos^{3} (x) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos^{3} (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos^{3} (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.2.2

Divisez $\cos^{3} (x)$ par $1$ .

$\cos^{3} (x) = \frac{0}{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Étape 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Étape 9

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 9.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\cos (x) = 0$

Étape 10

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 11

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 12

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 13

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 13.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 13.2

Associez les fractions.

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Étape 13.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 13.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 14

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 14.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 15

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$