Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) = - 2$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) + 2 \cos (x) = - 2$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = - 2$

Étape 3

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- {(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = - 2$

Étape 4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 2 u + 1 + 2 = 0$

Étape 5

Additionnez $1$ et $2$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Étape 6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Étape 6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 u$ .

$- u^{2} - (- 2 u) + 3 = 0$

Étape 6.1.3

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$- u^{2} - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 6.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Étape 6.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Étape 6.2

Factorisez.

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Étape 6.2.1

Factorisez $u^{2} - 2 u - 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 3$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 3, 1$

Étape 6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Étape 6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 8

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 9

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 3) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 3, - 1$

Étape 11

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 3, - 1$

Étape 12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = 3$

$\cos (x) = - 1$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 3$ .

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Étape 13.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $3$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1$ .

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Étape 14.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 14.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 14.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Indiquez toutes les solutions.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$