Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = 2 \cos (x) + 2$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) + 1 = 2 \cos (x) + 2$

Étape 3

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 2 (u) + 2$

Étape 4

Soustrayez $2 u$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 1 - 2 u = 2$

Étape 5

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 1 - 2 u - 2 = 0$

Étape 6

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Étape 7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} - 2 u - 1$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 u$ .

$- u^{2} - (2 u) - 1 = 0$

Étape 7.1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- u^{2} - (2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 7.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} - (2 u)$ .

$- (u^{2} + 2 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Étape 7.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} + 2 u) - 1 (1)$ .

$- (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Étape 7.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Étape 7.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 7.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 7.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$- {(u + 1)}^{2} = 0$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $- {(u + 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $- {(u + 1)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 8.2.2

Divisez ${(u + 1)}^{2}$ par $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Étape 9

Définissez le $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 11

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - 1$

Étape 12

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 14

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 15

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 16

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 16.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 17

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$