Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 1$

Étape 1

Remplacez le $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \cos^{2} (x) = \cos^{2} (x) - 1$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \cos^{2} (x) + 1 = \cos^{2} (x) - 1$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $\cos (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos^{2} (x) + 1 - \cos^{2} (x) = - 1$

Étape 3.2

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $- \cos^{2} (x)$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = - 1$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 - 1$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$- 2 \cos^{2} (x) = - 2$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = - 2$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos^{2} (x) = - 2$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 2}{- 2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $- 2$ par $- 2$ .

$\cos^{2} (x) = 1$

Étape 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{1}$

Étape 7

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm 1$

Étape 8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = 1$

Étape 8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - 1$

Étape 8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = 1, - 1$

Étape 9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

Étape 10

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 1$ .

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Étape 10.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 10.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 10.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 10.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1$ .

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Étape 11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 11.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 11.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$