Trigonométrie Exemples

$\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) = 16$

Étape 1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) - 16 = 0$

Étape 2

Factorisez $\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) - 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 16$ et dont la somme est $- 15$ .

$- 16, 1$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(\cot (x) - 16) (\cot (x) + 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cot (x) - 16 = 0$

$\cot (x) + 1 = 0$

Étape 4

Définissez $\cot (x) - 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cot (x) - 16$ égal à $0$ .

$\cot (x) - 16 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cot (x) - 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$\cot (x) = 16$

Étape 4.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (16)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Évaluez $arccot (16)$ .

$x = 0.0624188$

Étape 4.2.4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.0624188$

Étape 4.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.0624188$

Étape 4.2.5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.0624188$

Étape 4.2.5.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.0624188$ .

$x = 3.20401146$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.0624188 + π n, 3.20401146 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\cot (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cot (x) + 1$ égal à $0$ .

$\cot (x) + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cot (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cot (x) = - 1$

Étape 5.2.2

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

La valeur exacte de $arccot (- 1)$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 5.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Étape 5.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.2.5.1

Ajoutez $2 π$ à $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Étape 5.2.5.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{4}$ est positif et coterminal avec $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 5.2.6

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 5.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.7

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\cot (x) - 16) (\cot (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 0.0624188 + π n, 3.20401146 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

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Étape 7.1

Consolidez $0.0624188 + π n$ et $3.20401146 + π n$ en $0.0624188 + π n$ .

$x = 0.0624188 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7.2

Consolidez $\frac{3 π}{4} + π n$ et $\frac{7 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.0624188 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$