Trigonométrie Exemples

$\cot^{2} (x) + 4 \csc (x) = - 5$

Étape 1

Remplacez le $\cot^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) + 4 \csc (x) = - 5$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\csc^{2} (x) + 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Étape 3

Remplacez $\csc (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) - 1 = - 5$

Étape 4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 4 u - 1 + 5 = 0$

Étape 5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$u^{2} + 4 u + 4 = 0$

Étape 6

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u^{2} + 4 u + 2^{2} = 0$

Étape 6.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 6.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 6.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 2$ .

${(u + 2)}^{2} = 0$

Étape 7

Définissez le $u + 2$ égal à $0$ .

$u + 2 = 0$

Étape 8

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 2$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - 2$

Étape 10

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 2)$

Étape 11

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

La valeur exacte de $arccsc (- 2)$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 12

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 13

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 13.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 14

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 15

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 15.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 15.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 15.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 15.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 15.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 15.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 16

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$