Trigonométrie Exemples

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Étape 1

Remplacez le $\cot^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

Étape 2

Remplacez $\csc (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Associez $u$ et $\frac{5}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

Étape 3.2

Déplacez $5$ à gauche de $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

Étape 4

Ajoutez $\frac{5 u}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

Étape 5

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 5.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

Étape 5.2

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

Étape 6

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

Étape 7

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 5$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $16$ de $25$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.1.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 9.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

Étape 10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

Étape 11

Remplacez $u$ par $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

Étape 12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 13.1

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $- \frac{1}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = - 2$ .

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Étape 14.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- 2)$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.1

La valeur exacte de $arccsc (- 2)$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 14.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 14.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 14.4.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 14.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{6}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Étape 14.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 14.6.3

Associez les fractions.

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Étape 14.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 14.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 14.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.6.4.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Étape 14.6.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Étape 14.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 14.7

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$