Trigonométrie Exemples

$\cot^{2} (x) - 4 \csc (x) = - 5$

Étape 1

Remplacez le $\cot^{2} (x)$ par $\csc^{2} (x) - 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\csc^{2} (x) - 1) - 4 \csc (x) = - 5$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$\csc^{2} (x) - 4 \csc (x) - 1 = - 5$

Étape 3

Remplacez $\csc (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 4 u - 1 = - 5$

Étape 4

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 4 u - 1 + 5 = 0$

Étape 5

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$u^{2} - 4 u + 4 = 0$

Étape 6

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u^{2} - 4 u + 2^{2} = 0$

Étape 6.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Étape 6.3

Réécrivez le polynôme.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 6.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 2$ .

${(u - 2)}^{2} = 0$

Étape 7

Définissez le $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 8

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\csc (x)$ .

$\csc (x) = 2$

Étape 10

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (2)$

Étape 11

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.1

La valeur exacte de $arccsc (2)$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 12

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 13

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 13.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 13.2

Associez les fractions.

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Étape 13.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 13.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 13.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 14

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 14.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 14.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 14.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 14.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 15

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$