Trigonométrie Exemples

$\csc^{2} (x) = 8 \cot (x) + 10$

Étape 1

Remplacez le $\csc^{2} (x)$ par $\cot^{2} (x) + 1$ d’après l’identité $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$\cot^{2} (x) + 1 = 8 \cot (x) + 10$

Étape 2

Remplacez $\cot (x)$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 1 = 8 (u) + 10$

Étape 3

Soustrayez $8 u$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 1 - 8 u = 10$

Étape 4

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} + 1 - 8 u - 10 = 0$

Étape 5

Soustrayez $10$ de $1$ .

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

Étape 6

Factorisez $u^{2} - 8 u - 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 9$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 9, 1$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 9) (u + 1) = 0$

Étape 7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 8

Définissez $u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Définissez $u - 9$ égal à $0$ .

$u - 9 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 9$

Étape 9

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 9.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 9.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 9) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 9, - 1$

Étape 11

Remplacez $u$ par $\cot (x)$ .

$\cot (x) = 9, - 1$

Étape 12

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cot (x) = 9$

$\cot (x) = - 1$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = 9$ .

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Étape 13.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (9)$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

Évaluez $arccot (9)$ .

$x = 0.11065722$

Étape 13.3

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

Étape 13.4

Résolvez $x$ .

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Étape 13.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.11065722$

Étape 13.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

Étape 13.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.11065722$ .

$x = 3.25224987$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Résolvez $x$ dans $\cot (x) = - 1$ .

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Étape 14.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$x = arccot (- 1)$

Étape 14.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 14.2.1

La valeur exacte de $arccot (- 1)$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

Étape 14.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 14.4.1

Ajoutez $2 π$ à $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

Étape 14.4.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{4}$ est positif et coterminal avec $\frac{3 π}{4} - π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 14.5

Déterminez la période de $\cot (x)$ .

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Étape 14.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 14.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 14.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 14.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 14.6

La période de la fonction $\cot (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Consolidez les solutions.

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Étape 16.1

Consolidez $0.11065722 + π n$ et $3.25224987 + π n$ en $0.11065722 + π n$ .

$x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16.2

Consolidez $\frac{3 π}{4} + π n$ et $\frac{7 π}{4} + π n$ en $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$