Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

Étape 1

Remplacez le $\cos^{2} (x)$ par $1 - \sin^{2} (x)$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$1 - \sin^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

Étape 2

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \sin^{2} (x) + 1 = 3 (1 - \sin (x))$

Étape 3

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$- {(u)}^{2} + 1 = 3 (1 - (u))$

Étape 4

Simplifiez $3 (1 - u)$ .

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Étape 4.1

Réécrivez.

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 3 (1 - u)$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$- u^{2} + 1 = 3 (1 - u)$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- u^{2} + 1 = 3 \cdot 1 + 3 (- u)$

Étape 4.4

Multipliez.

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Étape 4.4.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- u^{2} + 1 = 3 + 3 (- u)$

Étape 4.4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- u^{2} + 1 = 3 - 3 u$

Étape 5

Ajoutez $3 u$ aux deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 1 + 3 u = 3$

Étape 6

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + 1 + 3 u - 3 = 0$

Étape 7

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + 3 u - 2$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $3 u$ .

$- u^{2} - (- 3 u) - 2 = 0$

Étape 8.1.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$- u^{2} - (- 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Étape 8.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} - (- 3 u)$ .

$- (u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

Étape 8.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - 3 u) - 1 (2)$ .

$- (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

Étape 8.2

Factorisez.

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Étape 8.2.1

Factorisez $u^{2} - 3 u + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 8.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 2) (u - 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 10

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 10.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 11

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 11.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 2) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 2, 1$

Étape 13

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = 2, 1$

Étape 14

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = 2$

$\sin (x) = 1$

Étape 15

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = 2$ .

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Étape 15.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 16

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = 1$ .

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Étape 16.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 16.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 16.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 16.4

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 16.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 16.4.2

Associez les fractions.

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Étape 16.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 16.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 16.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 16.4.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 16.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 16.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 16.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 16.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 16.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 16.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 17

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$