Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 8 = 0$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$2 {(u)}^{2} - (u) + 8 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 1$ et $c = 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 8)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 8$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $64$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 63$ comme $- 1 (63)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (63)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$u = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$u = \frac{1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$u = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm 3 i \sqrt{7}}{4}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

Étape 6

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}, \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

Étape 7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4}$ .

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Étape 8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4})$

Étape 8.2

Le sinus inverse de $\arcsin (\frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{4})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4}$ .

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Étape 9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4})$

Étape 9.2

Le sinus inverse de $\arcsin (\frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{4})$ est indéfini.

Indéfini

Étape 10

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution