Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3} \tan (3 x) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3} \tan (3 x) = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \tan (3 x) = 1$ par $\sqrt{3}$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \tan (3 x) = 1$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (3 x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \tan (3 x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\tan (3 x)$ par $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$3 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Étape 6

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x = π + \frac{π}{6}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 7.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Étape 7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Étape 7.1.4

Additionnez $π \cdot 6$ et $π$ .

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Étape 7.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$3 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Étape 7.1.4.2

Additionnez $6 \cdot π$ et $π$ .

$3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Étape 7.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Étape 8

Déterminez la période de $\tan (3 x)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 3 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{π}{3}$

Étape 9

La période de la fonction $\tan (3 x)$ est $\frac{π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{18} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$