Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$

Étape 1

Soustrayez $\cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3} \sin (x) = 1 - \cos (x)$

Étape 2

Élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2} = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Étape 3

Simplifiez ${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} \sin (x)$ .

${\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Étape 3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$3^{1} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Étape 3.2.5

Évaluez l’exposant.

$3 \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

Étape 4

Simplifiez ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${(1 - \cos (x))}^{2}$ comme $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$3 \sin^{2} (x) = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$

Étape 4.2

Développez $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sin^{2} (x) = 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- \cos (x)$ par $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $- \cos (x) (- \cos (x))$ .

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Étape 4.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)$

Étape 4.3.1.4.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 4.3.1.4.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Étape 4.3.1.4.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Étape 4.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 4.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 4.3.2

Soustrayez $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$3 \sin^{2} (x) = 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 5

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin^{2} (x) - 1 = - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 5.2

Ajoutez $2 \cos (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) = \cos^{2} (x)$

Étape 5.3

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 6

Remplacez le $3 \sin^{2} (x)$ par $3 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 7.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.1

Soustrayez $1$ de $3$ .

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) = 0$

Étape 9

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

Étape 10

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

Étape 11

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 11.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ .

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Étape 11.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4 u^{2}$ .

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

Étape 11.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $2 u$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

Étape 11.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $2$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 11.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Étape 11.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Étape 11.2

Factorisez.

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Étape 11.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 11.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 11.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Étape 11.2.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Étape 11.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Étape 11.2.1.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Étape 11.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 11.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Étape 11.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Étape 11.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Étape 11.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 12

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 13

Définissez $2 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 13.1

Définissez $2 u + 1$ égal à $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $2 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 13.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 u = - 1$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Étape 13.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{2}$

Étape 14

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 14.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 14.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 15

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Étape 16

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Étape 17

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Étape 18

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 18.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 18.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 18.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 18.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 18.4

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 18.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 18.4.2

Associez les fractions.

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Étape 18.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 18.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 18.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 18.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 18.4.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 18.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 18.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 18.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 18.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 18.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 18.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 19

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 1$ .

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Étape 19.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 19.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 19.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 19.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 19.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 19.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 19.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 19.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 19.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 19.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 19.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 20

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 21

Consolidez les réponses.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 22

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$ et en résolvant.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ , pour tout entier $n$