Trigonométrie Exemples

$12 \sin^{2} (x) - 6 \sin (x) = 4$

Étape 1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$12 {(u)}^{2} - 6 u = 4$

Étape 2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$12 u^{2} - 6 u - 4 = 0$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $12 u^{2} - 6 u - 4$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $12 u^{2}$ .

$2 (6 u^{2}) - 6 u - 4 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 u$ .

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) - 4 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (- 2) = 0$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 u^{2}) + 2 (- 3 u)$ .

$2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2) = 0$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (6 u^{2} - 3 u) + 2 (- 2)$ .

$2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 (6 u^{2} - 3 u - 2) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (6 u^{2} - 3 u - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $6 u^{2} - 3 u - 2$ par $1$ .

$6 u^{2} - 3 u - 2 = \frac{0}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$6 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = 6$ , $b = - 3$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 2)}}{2 \cdot 6}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 6 \cdot - 2$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 24 \cdot - 2}}{2 \cdot 6}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 24$ par $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 48}}{2 \cdot 6}$

Étape 7.1.3

Additionnez $9$ et $48$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 6}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{12}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}, \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$

$\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{3 + \sqrt{57}}{12}$ .

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Étape 11.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{3 + \sqrt{57}}{12})$ .

$x = 1.0740816$

Étape 11.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

Étape 11.4

Résolvez $x$ .

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Étape 11.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 1.0740816$

Étape 11.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 1.0740816$

Étape 11.4.3

Soustrayez $1.0740816$ de $3.14159265$ .

$x = 2.06751104$

Étape 11.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 11.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{3 - \sqrt{57}}{12}$ .

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Étape 12.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arcsin (\frac{3 - \sqrt{57}}{12})$ .

$x = - 0.38888063$

Étape 12.3

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

Étape 12.4

Résolvez $x$ .

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Étape 12.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.38888063$

Étape 12.4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.38888063$

Étape 12.4.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.38888063$ .

$x = 3.53047329$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 12.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.38888063$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.38888063 + 2 π$

Étape 12.6.2

Soustrayez $0.38888063$ de $2 π$ .

$5.89430466$

Étape 12.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 5.89430466$

Étape 12.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.0740816 + 2 π n, 2.06751104 + 2 π n, 3.53047329 + 2 π n, 5.89430466 + 2 π n$ , pour tout entier $n$