Trigonométrie Exemples

$- 6 \cos (\frac{π}{3} x) = 4$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $- 6 \cos (\frac{π}{3} x) = 4$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $- 6 \cos (\frac{π}{3} x) = 4$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 \cos (\frac{π}{3} x)}{- 6} = \frac{4}{- 6}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 \cos (\frac{π}{3} x)}{- 6} = \frac{4}{- 6}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\cos (\frac{π}{3} x)$ par $1$ .

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{4}{- 6}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 6$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{2 (2)}{- 6}$

Étape 1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

Étape 1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{π}{3} x) = \frac{2}{- 3}$

Étape 1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (\frac{π}{3} x) = - \frac{2}{3}$

Étape 2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{π}{3} x = \arccos (- \frac{2}{3})$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Associez $\frac{π}{3}$ et $x$ .

$\frac{π x}{3} = \arccos (- \frac{2}{3})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

Évaluez $\arccos (- \frac{2}{3})$ .

$\frac{π x}{3} = 2.30052398$

Étape 5

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Étape 6

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1

Simplifiez $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Étape 6.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Étape 6.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Étape 6.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Étape 6.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{π} \cdot 2.30052398$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Simplifiez $\frac{3}{π} \cdot 2.30052398$ .

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $\frac{3}{π} \cdot 2.30052398$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Associez $\frac{3}{π}$ et $2.30052398$ .

$x = \frac{3 \cdot 2.30052398}{π}$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez $3$ par $2.30052398$ .

$x = \frac{6.90157194}{π}$

Étape 6.2.1.2

Remplacez $π$ par une approximation.

$x = \frac{6.90157194}{3.14159265}$

Étape 6.2.1.3

Divisez $6.90157194$ par $3.14159265$ .

$x = 2.19683858$

Étape 7

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{π x}{3} = 2 (3.14159265) - 2.30052398$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Étape 8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Étape 8.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Étape 8.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 8.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Étape 8.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Étape 8.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 2.30052398)$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = \frac{3}{π} (6.2831853 - 2.30052398)$

Étape 8.2.2.1.2

Soustrayez $2.30052398$ de $6.2831853$ .

$x = \frac{3}{π} \cdot 3.98266132$

Étape 8.2.2.1.3

Multipliez $\frac{3}{π} \cdot 3.98266132$ .

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Étape 8.2.2.1.3.1

Associez $\frac{3}{π}$ et $3.98266132$ .

$x = \frac{3 \cdot 3.98266132}{π}$

Étape 8.2.2.1.3.2

Multipliez $3$ par $3.98266132$ .

$x = \frac{11.94798397}{π}$

Étape 8.2.2.1.4

Remplacez $π$ par une approximation.

$x = \frac{11.94798397}{3.14159265}$

Étape 8.2.2.1.5

Divisez $11.94798397$ par $3.14159265$ .

$x = 3.80316141$

Étape 9

Déterminez la période de $\cos (\frac{π}{3} x)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Étape 9.3

$\frac{π}{3}$ est d’environ $1.04719755$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Étape 9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{π}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Étape 9.5.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Étape 9.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 3$

Étape 9.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$6$

Étape 10

La période de la fonction $\cos (\frac{π}{3} x)$ est $6$ si bien que les valeurs se répètent tous les $6$ radians dans les deux sens.

$x = 2.19683858 + 6 n, 3.80316141 + 6 n$ , pour tout entier $n$