Trigonométrie Exemples

$3 (1 - \cos (x)) = \sin^{2} (x)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{3 (1 - \cos (x))}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Remplacez $\cos (x)$ par une expression équivalente dans le numérateur.

$3 (1 - \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$(3 \cdot 1 + 3 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$(3 + 3 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(3 - 3 \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(3 - 3 \cos (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (\frac{1}{\cos (x)}) - 3 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.2

Associez $3$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3}{\cos (x)} - 3 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- 3 \cos (x)$ .

$\frac{3}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 3 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 3 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 6.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{\cos (x)} - 3 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Séparez les fractions.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 3 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{3}{1} \cdot \sec (x) - 3 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7.3

Divisez $3$ par $1$ .

$3 \sec (x) - 3 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 8

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$3 \sec (x) - 3 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$3 \sec (x) - 3 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$3 \sec (x) - 3 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x)$

Étape 11

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$3 \sec (x) - 3 = \sin (x) \tan (x)$

Étape 12

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 \frac{1}{\cos (x)} - 3 = \sin (x) \tan (x)$

Étape 12.1.2

Associez $3$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3}{\cos (x)} - 3 = \sin (x) \tan (x)$

Étape 13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.1

Simplifiez $\sin (x) \tan (x)$ .

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Étape 13.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{3}{\cos (x)} - 3 = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.1.2

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 13.1.2.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{3}{\cos (x)} - 3 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{\cos (x)} - 3 = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.1.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{\cos (x)} - 3 = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Étape 13.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{\cos (x)} - 3 = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 13.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3}{\cos (x)} - 3 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 14

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{3}{\cos (x)} - 3) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 15

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{3}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 3 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 16

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 16.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{3}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 3 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 16.2

Réécrivez l’expression.

$3 + \cos (x) \cdot - 3 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 17

Déplacez $- 3$ à gauche de $\cos (x)$ .

$3 - 3 \cdot \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 18

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 18.1

Annulez le facteur commun.

$3 - 3 \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 18.2

Réécrivez l’expression.

$3 - 3 \cos (x) = \sin^{2} (x)$

Étape 19

Soustrayez $\sin^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$3 - 3 \cos (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 20

Remplacez $\sin^{2} (x)$ par $1 - \cos^{2} (x)$ .

$3 - 3 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Étape 21

Résolvez $x$ .

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Étape 21.1

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$3 - 3 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Étape 21.2

Simplifiez $3 - 3 u - (1 - u^{2})$ .

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Étape 21.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 21.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 - 3 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Étape 21.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 - 3 u - 1 - - u^{2} = 0$

Étape 21.2.1.3

Multipliez $- - u^{2}$ .

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Étape 21.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 - 3 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Étape 21.2.1.3.2

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$3 - 3 u - 1 + u^{2} = 0$

Étape 21.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$- 3 u + 2 + u^{2} = 0$

Étape 21.3

Factorisez $- 3 u + 2 + u^{2}$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 21.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 21.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 2) (u - 1) = 0$

Étape 21.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 21.5

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 21.5.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 21.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 21.6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 21.6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 21.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 21.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 2) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 2, 1$

Étape 21.8

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = 2, 1$

Étape 21.9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = 2$

$\cos (x) = 1$

Étape 21.10

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 2$ .

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Étape 21.10.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $2$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 21.11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 1$ .

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Étape 21.11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 21.11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 21.11.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 21.11.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 21.11.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 21.11.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 21.11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 21.11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 21.11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 21.11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 21.11.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 21.12

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 21.13

Consolidez les réponses.

$x = 2 π n$ , pour tout entier $n$