Trigonométrie Exemples

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Remplacez $\cos (x)$ par une expression équivalente dans le numérateur.

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Multipliez $4$ par $1$ .

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 7

Associez $4$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 8

Multipliez $4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $4$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 8.2

Associez $\frac{4}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Séparez les fractions.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 9.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 9.3

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 9.4

Séparez les fractions.

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 9.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 9.6

Divisez $4$ par $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 10.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Étape 10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1

Multipliez par $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

Étape 10.2.4

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Étape 11

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Étape 11.1.2

Associez $4$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

Étape 11.1.3

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Étape 11.1.4

Associez $4$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

Étape 12

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Étape 14.2

Réécrivez l’expression.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 15.1

Annulez le facteur commun.

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

Étape 15.2

Réécrivez l’expression.

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

Étape 16

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 16.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

Étape 16.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Étape 16.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 16.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Étape 17

Soustrayez $\cos^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Étape 18

Remplacez $\cos^{2} (x)$ par $1 - \sin^{2} (x)$ .

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 19

Résolvez $x$ .

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Étape 19.1

Remplacez $\sin (x)$ par $u$ .

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Étape 19.2

Simplifiez $4 + 4 u - (1 - u^{2})$ .

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Étape 19.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $- - u^{2}$ .

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Étape 19.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Étape 19.2.1.3.2

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

Étape 19.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

Étape 19.3

Factorisez $4 u + 3 + u^{2}$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 19.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 19.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 1) (u + 3) = 0$

Étape 19.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

Étape 19.5

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 19.5.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 19.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 19.6

Définissez $u + 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 19.6.1

Définissez $u + 3$ égal à $0$ .

$u + 3 = 0$

Étape 19.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 3$

Étape 19.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u + 1) (u + 3) = 0$ vraie.

$u = - 1, - 3$

Étape 19.8

Remplacez $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 1, - 3$

Étape 19.9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

Étape 19.10

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 1$ .

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Étape 19.10.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 19.10.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 19.10.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 19.10.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 19.10.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 19.10.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 19.10.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 19.10.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 19.10.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 19.10.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 19.10.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 19.10.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 19.10.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 19.10.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 19.10.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 19.10.6.3

Associez les fractions.

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Étape 19.10.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 19.10.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 19.10.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.10.6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 19.10.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 19.10.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 19.10.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 19.11

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 3$ .

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Étape 19.11.1

La plage du sinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 3$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 19.12

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 19.13

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$