Trigonométrie Exemples

$\tan (t) = \frac{1}{\tan (t)}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, \tan (t)$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\tan (t)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\tan (t) = \frac{1}{\tan (t)}$ par $\tan (t)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\tan (t) = \frac{1}{\tan (t)}$ par $\tan (t)$ .

$\tan (t) \tan (t) = \frac{1}{\tan (t)} \tan (t)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\tan (t)$ par $\tan (t)$ .

$\tan^{2} (t) = \frac{1}{\tan (t)} \tan (t)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $\tan (t)$ .

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Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan^{2} (t) = \frac{1}{\tan (t)} \tan (t)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\tan^{2} (t) = 1$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (t) = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (t) = \pm 1$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (t) = 1$

Étape 3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (t) = - 1$

Étape 3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (t) = 1, - 1$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $t$ .

$\tan (t) = 1$

$\tan (t) = - 1$

Étape 5

Résolvez $t$ dans $\tan (t) = 1$ .

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Étape 5.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur de la tangente.

$t = \arctan (1)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$t = \frac{π}{4}$

Étape 5.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$t = π + \frac{π}{4}$

Étape 5.4

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$t = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$t = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 5.4.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$t = \frac{5 π}{4}$

Étape 5.5

Déterminez la période de $\tan (t)$ .

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Étape 5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.6

La période de la fonction $\tan (t)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Résolvez $t$ dans $\tan (t) = - 1$ .

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Étape 6.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur de la tangente.

$t = \arctan (- 1)$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$t = - \frac{π}{4}$

Étape 6.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$t = - \frac{π}{4} - π$

Étape 6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$t = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 6.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$t = \frac{3 π}{4}$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\tan (t)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 6.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 6.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.6.3

Associez les fractions.

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Étape 6.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 6.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 6.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 6.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 6.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$t = \frac{3 π}{4}$

Étape 6.7

La période de la fonction $\tan (t)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$t = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$t = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$t = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$