Trigonométrie Exemples

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2} = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + {(\sin (t) + \cos (t))}^{2} = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.2

Réécrivez ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ comme $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t)) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.3

Développez $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t)) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t)) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.1.1

Multipliez $\sin (t) \sin (t)$ .

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Étape 1.1.4.1.1.1

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4.1.1.2

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (t) \sin^{1} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4.1.2

Multipliez $\cos (t) \cos (t)$ .

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Étape 1.1.4.1.2.1

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{1} (t) \cos (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4.1.2.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + {\cos (t)}^{1 + 1} = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (t) \cos (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.4.3

Additionnez $\cos (t) \sin (t)$ et $\cos (t) \sin (t)$ .

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.5

Déplacez $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (t)$ et $\sin (t)$ .

$1 + \sin (t) (2 \cos (t)) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.7.2

Remettez dans l’ordre $\sin (t)$ et $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (t) \cos (t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 1.1.7.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$1 + \sin (2 t) = 1 + \sin (2 t)$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $\sin (2 t)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $\sin (2 t)$ des deux côtés de l’équation.

$1 + \sin (2 t) - \sin (2 t) = 1$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $1 + \sin (2 t) - \sin (2 t)$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $\sin (2 t)$ de $\sin (2 t)$ .

$1 + 0 = 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 = 1$

Étape 3

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie pour toute valeur de $t$ .

Tous les nombres réels

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Tous les nombres réels

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$