Trigonométrie Exemples

$1800 = 2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$ .

$2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$ par $2600$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = 1800$ par $2600$ .

$\frac{2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}}{2600} = \frac{1800}{2600}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2600$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2600 {(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}}{2600} = \frac{1800}{2600}$

Étape 2.2.1.2

Divisez ${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3}$ par $1$ .

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{1800}{2600}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun à $1800$ et $2600$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $200$ à partir de $1800$ .

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{200 (9)}{2600}$

Étape 2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $200$ à partir de $2600$ .

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{200 \cdot 9}{200 \cdot 13}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{200 \cdot 9}{200 \cdot 13}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

${(1 - 0.51 e^{- 0.075 t})}^{3} = \frac{9}{13}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \sqrt[3]{\frac{9}{13}}$

Étape 4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{9}{13}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{9}{13}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{13}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{2}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{\sqrt[3]{13} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt[3]{13}$ à la puissance $1$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1} {\sqrt[3]{13}}^{2}}$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{1 + 2}}$

Étape 4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{\sqrt[3]{13}}^{3}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{13}}^{3}$ comme $13$ .

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Étape 4.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{13}$ comme $13^{\frac{1}{3}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{{(13^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 4.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 4.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{\frac{3}{3}}}$

Étape 4.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13^{1}}$

Étape 4.3.5.5

Évaluez l’exposant.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{13}}^{2}}{13}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{13}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{13^{2}}$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} \sqrt[3]{13^{2}}}{13}$

Étape 4.4.2

Élevez $13$ à la puissance $2$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9} \sqrt[3]{169}}{13}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{9 \cdot 169}}{13}$

Étape 4.5.2

Multipliez $9$ par $169$ .

$1 - 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13}$

Étape 5

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} - 1$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} - 1$ par $- 0.51$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- 0.51 e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} - 1$ par $- 0.51$ .

$\frac{- 0.51 e^{- 0.075 t}}{- 0.51} = \frac{\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.51$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.51 e^{- 0.075 t}}{- 0.51} = \frac{\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $e^{- 0.075 t}$ par $1$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} \cdot \frac{1}{- 0.51} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Étape 6.3.1.2

Divisez $1$ par $- 0.51$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521}}{13} \cdot - 1.96078431 + \frac{- 1}{- 0.51}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{1521}}{13} \cdot - 1.96078431$ .

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Étape 6.3.1.3.1

Associez $\frac{\sqrt[3]{1521}}{13}$ et $- 1.96078431$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{\sqrt[3]{1521} \cdot - 1.96078431}{13} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Étape 6.3.1.3.2

Multipliez $\sqrt[3]{1521}$ par $- 1.96078431$ .

$e^{- 0.075 t} = \frac{- 22.54963735}{13} + \frac{- 1}{- 0.51}$

Étape 6.3.1.4

Divisez $- 22.54963735$ par $13$ .

$e^{- 0.075 t} = - 1.73458748 + \frac{- 1}{- 0.51}$

Étape 6.3.1.5

Divisez $- 1$ par $- 0.51$ .

$e^{- 0.075 t} = - 1.73458748 + 1.96078431$

Étape 6.3.2

Additionnez $- 1.73458748$ et $1.96078431$ .

$e^{- 0.075 t} = 0.22619682$

Étape 7

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 0.075 t}) = \ln (0.22619682)$

Étape 8

Développez le côté gauche.

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Étape 8.1

Développez $\ln (e^{- 0.075 t})$ en déplaçant $- 0.075 t$ hors du logarithme.

$- 0.075 t \ln (e) = \ln (0.22619682)$

Étape 8.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 0.075 t \cdot 1 = \ln (0.22619682)$

Étape 8.3

Multipliez $- 0.075$ par $1$ .

$- 0.075 t = \ln (0.22619682)$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- 0.075 t = \ln (0.22619682)$ par $- 0.075$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- 0.075 t = \ln (0.22619682)$ par $- 0.075$ .

$\frac{- 0.075 t}{- 0.075} = \frac{\ln (0.22619682)}{- 0.075}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.075$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.075 t}{- 0.075} = \frac{\ln (0.22619682)}{- 0.075}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{\ln (0.22619682)}{- 0.075}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{\ln (0.22619682)}{0.075}$

Étape 9.3.2

Remplacez $e$ par une approximation.

$t = - \frac{\log_{2.71828182} (0.22619682)}{0.075}$

Étape 9.3.3

La base logarithmique $2.71828182$ de $0.22619682$ est approximativement $- 1.48634975$ .

$t = - \frac{- 1.48634975}{0.075}$

Étape 9.3.4

Divisez $- 1.48634975$ par $0.075$ .

$t = - - 19.81799669$

Étape 9.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 19.81799669$ .

$t = 19.81799669$