Trigonométrie Exemples

$60 = \frac{100}{1 + 25 e^{- 0.095 t}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{100}{1 + 25 e^{- 0.095 t}} = 60$ .

$\frac{100}{1 + 25 e^{- 0.095 t}} = 60$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $1 + 25 e^{- 0.095 t}$ .

$\frac{100}{1 + 25 e^{- 0.095 t}} (1 + 25 e^{- 0.095 t}) = 60 (1 + 25 e^{- 0.095 t})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $1 + 25 e^{- 0.095 t}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{100}{1 + 25 e^{- 0.095 t}} (1 + 25 e^{- 0.095 t}) = 60 (1 + 25 e^{- 0.095 t})$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$100 = 60 (1 + 25 e^{- 0.095 t})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $60 (1 + 25 e^{- 0.095 t})$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$100 = 60 \cdot 1 + 60 (25 e^{- 0.095 t})$

Étape 3.2.1.2

Multipliez.

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $60$ par $1$ .

$100 = 60 + 60 (25 e^{- 0.095 t})$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $25$ par $60$ .

$100 = 60 + 1500 e^{- 0.095 t}$

Étape 4

Résolvez $t$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $60 + 1500 e^{- 0.095 t} = 100$ .

$60 + 1500 e^{- 0.095 t} = 100$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $t$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $60$ des deux côtés de l’équation.

$1500 e^{- 0.095 t} = 100 - 60$

Étape 4.2.2

Soustrayez $60$ de $100$ .

$1500 e^{- 0.095 t} = 40$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $1500 e^{- 0.095 t} = 40$ par $1500$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $1500 e^{- 0.095 t} = 40$ par $1500$ .

$\frac{1500 e^{- 0.095 t}}{1500} = \frac{40}{1500}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1500$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1500 e^{- 0.095 t}}{1500} = \frac{40}{1500}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $e^{- 0.095 t}$ par $1$ .

$e^{- 0.095 t} = \frac{40}{1500}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun à $40$ et $1500$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $20$ à partir de $40$ .

$e^{- 0.095 t} = \frac{20 (2)}{1500}$

Étape 4.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.1.2.1

Factorisez $20$ à partir de $1500$ .

$e^{- 0.095 t} = \frac{20 \cdot 2}{20 \cdot 75}$

Étape 4.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{- 0.095 t} = \frac{20 \cdot 2}{20 \cdot 75}$

Étape 4.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{- 0.095 t} = \frac{2}{75}$

Étape 4.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 0.095 t}) = \ln (\frac{2}{75})$

Étape 4.5

Développez le côté gauche.

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Étape 4.5.1

Développez $\ln (e^{- 0.095 t})$ en déplaçant $- 0.095 t$ hors du logarithme.

$- 0.095 t \ln (e) = \ln (\frac{2}{75})$

Étape 4.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 0.095 t \cdot 1 = \ln (\frac{2}{75})$

Étape 4.5.3

Multipliez $- 0.095$ par $1$ .

$- 0.095 t = \ln (\frac{2}{75})$

Étape 4.6

Divisez chaque terme dans $- 0.095 t = \ln (\frac{2}{75})$ par $- 0.095$ et simplifiez.

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Étape 4.6.1

Divisez chaque terme dans $- 0.095 t = \ln (\frac{2}{75})$ par $- 0.095$ .

$\frac{- 0.095 t}{- 0.095} = \frac{\ln (\frac{2}{75})}{- 0.095}$

Étape 4.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 0.095$ .

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Étape 4.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 0.095 t}{- 0.095} = \frac{\ln (\frac{2}{75})}{- 0.095}$

Étape 4.6.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{\ln (\frac{2}{75})}{- 0.095}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{\ln (\frac{2}{75})}{0.095}$

Étape 4.6.3.2

Remplacez $e$ par une approximation.

$t = - \frac{\log_{2.71828182} (\frac{2}{75})}{0.095}$

Étape 4.6.3.3

Divisez $2$ par $75$ .

$t = - \frac{\log_{2.71828182} (0.02\overline{6})}{0.095}$

Étape 4.6.3.4

La base logarithmique $2.71828182$ de $0.02\overline{6}$ est approximativement $- 3.62434093$ .

$t = - \frac{- 3.62434093}{0.095}$

Étape 4.6.3.5

Divisez $- 3.62434093$ par $0.095$ .

$t = - - 38.15095718$

Étape 4.6.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 38.15095718$ .

$t = 38.15095718$