Trigonométrie Exemples

\sin (3 t) = \frac{1}{2}

$\sin (3 t) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

t

$t$ de l’intérieur du sinus.

3 t = \arcsin (\frac{1}{2})

$3 t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de

\arcsin (\frac{1}{2})

$\arcsin (\frac{1}{2})$ est

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

3 t = \frac{π}{6}

$3 t = \frac{π}{6}$

3 t = \frac{π}{6}

$3 t = \frac{π}{6}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans

3 t = \frac{π}{6}

$3 t = \frac{π}{6}$ par

3

$3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans

3 t = \frac{π}{6}

$3 t = \frac{π}{6}$ par

3

$3$ .

\frac{3 t}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}

$\frac{3 t}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{3 t}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}

$\frac{3 t}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez

t

$t$ par

1

$1$ .

t = \frac{\frac{π}{6}}{3}

$t = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

t = \frac{\frac{π}{6}}{3}

$t = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

t = \frac{\frac{π}{6}}{3}

$t = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

t = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}

$t = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez

\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multipliez

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ par

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

t = \frac{π}{6 \cdot 3}

$t = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez

6

$6$ par

3

$3$ .

t = \frac{π}{18}

$t = \frac{π}{18}$

t = \frac{π}{18}

$t = \frac{π}{18}$

t = \frac{π}{18}

$t = \frac{π}{18}$

t = \frac{π}{18}

$t = \frac{π}{18}$

Étape 4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

π

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

3 t = π - \frac{π}{6}

$3 t = π - \frac{π}{6}$

Étape 5

Résolvez

t

$t$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Pour écrire

π

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

3 t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$3 t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.1.2

Associez

π

$π$ et

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

3 t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$3 t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

3 t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$3 t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 5.1.4

Soustrayez

π

$π$ de

π \cdot 6

$π \cdot 6$ .

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Étape 5.1.4.1

Remettez dans l’ordre

π

$π$ et

6

$6$ .

3 t = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$3 t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 5.1.4.2

Soustrayez

π

$π$ de

6 \cdot π

$6 \cdot π$ .

3 t = \frac{5 \cdot π}{6}

$3 t = \frac{5 \cdot π}{6}$

3 t = \frac{5 \cdot π}{6}

$3 t = \frac{5 \cdot π}{6}$

3 t = \frac{5 \cdot π}{6}

$3 t = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans

3 t = \frac{5 \cdot π}{6}

$3 t = \frac{5 \cdot π}{6}$ par

3

$3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans

3 t = \frac{5 \cdot π}{6}

$3 t = \frac{5 \cdot π}{6}$ par

3

$3$ .

\frac{3 t}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}

$\frac{3 t}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{3 t}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}

$\frac{3 t}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez

t

$t$ par

1

$1$ .

t = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}

$t = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

t = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}

$t = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

t = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}

$t = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{3}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

t = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}

$t = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez

\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Multipliez

\frac{5 π}{6}

$\frac{5 π}{6}$ par

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

t = \frac{5 π}{6 \cdot 3}

$t = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

Étape 5.2.3.2.2

Multipliez

6

$6$ par

3

$3$ .

t = \frac{5 π}{18}

$t = \frac{5 π}{18}$

t = \frac{5 π}{18}

$t = \frac{5 π}{18}$

t = \frac{5 π}{18}

$t = \frac{5 π}{18}$

t = \frac{5 π}{18}

$t = \frac{5 π}{18}$

t = \frac{5 π}{18}

$t = \frac{5 π}{18}$

Étape 6

Déterminez la période de

\sin (3 t)

$\sin (3 t)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez

b

$b$ par

3

$3$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 3 |}

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

3

$3$ est

3

$3$ .

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$

Étape 7

La période de la fonction

\sin (3 t)

$\sin (3 t)$ est

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

t = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{2 π n}{3}

$t = \frac{π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier

n

$n$